运用几何画板辅助教学，提高教与学的质量

运用几何画板辅助教学，提高教与学的质量

长汀一中      黄世林

数学是一门严谨的科学，它具有严密的逻辑性和演绎性．《高中数学教学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛运用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等产生深刻的影响．教学中要重视利用信息技术来呈现、以往课堂教学难以呈现的内容．”在传统的教学中由于缺少某些必要的教具和动画演示，许多概念和性质对应的图形无法准确生动表示，学生只能在老师的解释和粗略的草图下进行理解，背离了数学来源于生活，又高于生活的本质，致使学生普遍认为数学抽象难学．另外，一些繁难的计算也浪费了大量时间，使课堂效率降低．为改变这些弊病，老师的教学方式和手段就必须改变．在多媒体基本普及的今天，信息技术的力量使上述问题的解决成为可能的和可行的．

在众多的信息技术中，《几何画板》软件不仅具有强大的作图、计算及动画功能，而且具有即时性与交互性，在课堂教学中适当使用《几何画板》软件辅助教学可提高教与学的质量．

一、利用《几何画板》软件辅助教学可以创造一个动态的、可视的教学情景，能使抽象问题形象化、直观化，激发学生的学习热情和积极性

函数是数学的重要内容，学生在初中首次接触到函数及其图象时难以真正理解函数定义中两个变量的对应关系及一次函数的图象是条直线，而二次函数的图象是抛物线．这时可打开几何画板用画点工具先在x轴上任意作一个点A，以点A的横坐标x为自变量，计算出对应的函数值y，然后以x,y作为点的横、纵坐标绘制点B(x,y)，然后 利用动画演示追踪B点的轨迹，就可得到一次函数和二次函数的图象，同时可将B点的坐标绘制成表格．这时结合动画和表格引导学生观察表格中数据的变化讲解函数自变量和应变量的关系时，学生就能更容易理解函数的定义了，将抽象的数学思维转化为形象的图形演示，还可以使教师省去画表格的时间，提高课堂容量．

在讲解利用正弦线画正弦曲线在区间[0，2 ]上的图象，在讲解正弦曲线或余弦曲线的性质，三角函数图象的平移、伸缩变换时都可以应用几何画板的动态演示真正解决以往教学中难以呈现的内容及效果，让学生结合图象加深理解，消除因抽象带来的畏难心理，增强信心，提高兴趣．

又如在讲解空间几何中两异面直线所成的角、圆柱与圆锥等的形成时都可以利用几何画板进行演示，增强立体感、空间感．

二、运用几何画板辅助教学能减少一些教学内容中繁难、复杂的计算过程，节省时间，提高课堂容量和教学效率

众所周知数学课中往往要进行大量计算，这些计算往往由教师在备课中先做好了．但是有些课的计算即使课前准备好了，上课时就是抄在黑板上也会浪费大量时间（当然可用投影仪投影，但有时效果不一定理想），不仅费时费力，无法抽出更多的时间进行分析讲解，降低教学质量，而且课堂容量低，学优生感到无事做，衍生出厌烦心理，这时可心用几何画板来辅助教学．

案例3 在同一坐标系下作出函数 的图象并研究指数函数 的性质．

解析：第一步  在x轴上任意作一点A并求出它的横坐标，不妨设为x=2，计算 的值

第二步  分别选中x=2与y=4、x=2与y=9、x=2与y=16作为点的横纵坐标，绘制相应点，设为点B、C、D．

第三步  选中x=2和y=4、 y=9、y=16，选择图表菜单下的绘制表格功能，便可得到表格

选中表格，选取表格属性添加表中记录，将记录数据数目改为10或20．

第四步  选取点A，用编辑菜单下的操作类按钮下的动画按钮制作动画按钮，同时选中点B、C、D三点并选择显示菜单下的追踪点的轨迹．

第五步  点击动画按钮，相应的图象和表格就全部生成了．

结合图象和表格再引导学生分析函数的性质就会显得顺理成章．

案例4  用二分法求方程lnx+3x-5=0的近似解（精确度为0．01）．

解析：第一步  设函数f(x)=lnx+3x-5，则方程lnx+3x-5=0的近似解等于函数f(x)=lnx+3x-5的零点，利用几何画板作出函数的图象，发现函数的零点在区间[1，2]内．

第二步  将参数的精确度修改为十万分之一．新建参数n=1．00000，a=1．00000，b=2．00000，计算得 0000，f(a)=-2．00000，f(b)=1．69315， ，

第三步  隐藏a=1．00000，b=2．00000，并计算f(x₁)，f(x₂)及x_2­—x₁的值，选中a,b及n进行迭代，通过改变n的值就可得到用二分法求方程lnx+3x-5=0的近似解所需的表格，根据精确度很容易得到所需的近似解为1．52344 ．

利用上述课件以后上类似的课程时只需改变函数的表达式，及区间端点的值，就可求得所需的方程的近似解．这无疑是快捷简便又一劳永逸的事，比用计算器计算快多了．

三、利用《几何画板》软件辅助教学使“实验数学、操作数学”成为可能，达到培养学生的实践能力和创新能力

数学的创新需要数学实验、猜想．在老师的指导下，几何画板可给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境．通过任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索，发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明．

案例1  在研究一次函数y=kx+b(k ≠ 0)和二次函数y=ax²+bx+c(a ≠ 0)的性质时只需先设置好参数k和b以及a、b、c，让学生改变参数的取值，通过观察函数图象的形状、位置的改变，领会参数的变化对图象、函数性质的影响．

案例2  已知动点M（x，y）与两个定点A(0,-4)、B(0,4)的斜率之积为 ，求动点M的轨迹．

学生易得出：轨迹方程为 ．所以动点M的轨迹是焦点在轴上，坐标轴为对称轴的椭圆 （除A、B两点）．

用几何画板作出椭圆，易知A、B两点恰好是椭圆长轴的端点，进而得：

猜想一 短轴两端点E、F与点M的斜率之积是否为 ？通过计算直线ME与MF的斜率并相乘得它们的斜率之积也为 ．

猜想二  由于点A与B和E与F都都关于原点O对称，又椭圆也关于原点O对称，那么椭圆上的其它对称点，如P、Q与点M的连线的斜率之积是否也为 ？

通过计算机计算直线MQ与MP的斜率并相乘得它们的斜率之积也为 ，改变P、Q两点的位置再进行验证得知上述结论仍成立，进一步让学生证明这个猜想时学生就会显得兴趣盎然，个个都会有种跃跃欲试的冲动！

猜想三  由此及彼，猜想：若P、Q是椭圆 上的一对对称点，M（x，y）是椭圆上除P、Q之外的任意一点，是否有直线MP与MQ的斜率之积为定值？若是定值，那么定值是多少？

改变刚才所画椭圆长短轴的长度进行验证可知直线MP与MQ的斜率之积为定值，定值为 ，再让学生证明这个猜想时学生的内驱力、兴趣都被激发出来了，也就不会觉得数学难学了．

因此，在运用几何画板探究问题的过程中学生能通过计算机实时验证猜想的正确与否，及时修正思路，提出新问题，解决问题，从而达到培养学生发现问题，提出问题，解决问题的能力，培养学生创新意识和实践能力．运用几何画板的计算、测量、绘图等功能进行快速验证一般性结论的真伪，从而清除“抽象的数学”给学生造成的畏惧心理，使数学的学习更加快乐，也为学生证明一般性的结论提供了内驱力．

四、利用几何画板可以培养学生自主学习的能力

教师在平时利用几何画板辅助教学的过程中同时也教会学生如何使用几何画板，当学生遇到某些能利用几何画板解决的问题无法理解，身边又没有人可以帮助时可以利用几何画板来自己解决．当遇到某些奇思妙想时也可借助几何画板来进行验证．

案例5  在探究得到指数函数 与对数函数 是互为反函数后，学生通过观察图象后问：是否当时它们的图象无交点？当时它们的图象只有一个交点，且交点在直线y=x上？

为解决这个问题，不妨让学生利用几何画板进行探究．不断改变参数a的值，观察图象知：大约当 时两函数的图象无交点；大约当 时两函数的图象有两个交点；大约当 时两函数的图象只有一个交点；大约当 时两函数的图象有三个交点，并且有一个交点落在直线y=x上．

案例6  已知关于x的不等式ln(x-1)<x²-3x+a恒成立，求实数a的取值范围．

当用正确方法解完本题后有学生问：为什么用函数y=x²-3x+a的最小值大于函数y=ln(x-1)的值求解是错误的．为解决这个问题不妨用几何画板作出函数y=x²-3x+a与y=ln(x-1)的图象，通过图象来观察问题的症结在哪儿．通过改变参数a的取值发现抛物线y=x²-3x+a上离函数y=ln(x-1)的图象最近的点并非顶点，而是点（2,a-2），至此学生就明白错误所在了，大可不必大费口舌．

总之，在数学课堂教学中适当借助《几何画板》软件辅助教学能使许多原本枯燥、抽象难以理解的知识得以形象化、直观化，还能让学生在轻松愉快的氛围中学到知识，学会思考，激发学习的兴趣，同时还能培养学生“观察——分析——归纳——猜想——证明”的能力，培养学生提出问题、发现问题的能力．