数学教学中的数学思维

长汀一中    李龙辉

数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。

高中数学本身的特点，摒弃了单调的记忆和机械的计算，更多的是一些理性化的东西，故只有丢弃固有的框架，让学生思维不受到束缚，他们才能在知识的黑洞里畅游。有专家如是说“当一个人把所学的知识都忘了以后，还保留下来的正是教师要教给学生的。”保留下来的是什么呢？就是能力，是思维素质。知识会随时间的推移而遗忘，而科学的思维能力和分析解决问题的能力却会长久地保留下来。

数学教学中，存在着三种思维活动：数学家或作者的思维活动（隐含于教材之中），教师的思维活动与学生的思维活动。从这个意义上说，“数学教学过程，是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展学生数学思维能力的过程。”这就是说：

1、教会学生科学地思维，应是数学教学的重要目的之一。即（大纲）所强调的，数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。

2、数学教学应力求充分暴露学生的思维过程，然后根据反馈信息，有的放矢地进行教学。

3、数学教学不应是“结果”的教学，而应是“过程”的教学。数学活动的教学，就是要把知识的形成、发展过程展现给学生。具体来说，就是要把问题的提出过程、知识的获取过程、结论的探索过程、问题的深化过程等分析、解决问题的艰难曲折过程展现出来。

在数学教学中有意识地把思维过程中的方法论问题（诸如比较与分类方法，分析与综合方法，归纳、演绎与类比的推理方法，理想化方法，公理化方法，形象思维与辩证思维的作用，科学概念与规律的抽象与概括的一般过程等），结合数学具体内容，深入浅出地教给学生，潜移默化地让学生获得科学方法的有益启示。

下面，从给学生展现思维过程这一侧面，说明在教学中具体的实施方法。

 1、让学生看到数学家的思维轨迹——三角诱导公式的教学。

为了对学生进行科学方法论的教育，我是把这个问题作为小研究课题进行分析探讨的。

（1）问题的提出（使学生明确研究方向）。锐角三角函数，可以查表求其值；能否利用已有的锐角三角函数表，解决任意角的三角函数值的计算问题。

（2）解决问题的思想方法（使学生懂得，如何把这个课题逐步具体与明确化，即要明确做什么？怎样去做）。

、分象限来解决——把范围缩小到 。由于终边在坐标轴上的角的三角函数值可求，又终边相同的角的三角函数完全相同，故可取 、 、 、 作为四个象限的代表；

、转化为锐角来解决——变为具体研究 与角 的三角函数关系；

这里，关键要讲清楚如何用锐角 来表示各象限的周内角：

通过数形结合很容易得到这种关系，即：若锐角用 表示；则第二象限周内角用 表示；第三象限周内角用 表示；第四象限周内角用 表示；

到此，学生已明确了具体的任务：要研究 的三角函数关系（增加 是为了利于负角变成正角，使计算更为简捷）。

美国著名数学家 曾指出：“解决问题的最困难的部分之一，是提出正确的问题。”说明提出问题的重要性。上述分析，让学生看到了科学家的这一思维过程。

、抓住主要矛盾来解决——着重解决好正弦、余弦的公式推导。

（3）公式的推导与规律的概括。以诱导公式I组为例，由于要花2~3个课时才能完成，这就为学生掌握科学的概括方法创造了有利的条件。

通常，概括的施行要分成两个步骤：

、考察尽量多的对象，寻找它们间的共性；

、从已经概括了的范围出发，扩大对象范围，作进一步的概括。然后逐步扩大范围，逐步修正，最后完成对整类对象的概括。

首先可在推导公式 后，提出如下问题让学生讨论：上述公式是在角 为锐角的情况下推导出来的，如果把 扩展到定义域中的任意角时，公式是否仍成立？通过研讨后，同学们发现对于诱导公式中的 ，开始我们只要求为锐角就足够了，但推导结果却打破了我们的限制，即公式对任意角 都适用。这个收获，大大提高了公式的应用价值，使学生从中领略到数学的某种奇妙。从锐角 任意角这一改进，是认识规律的一个飞跃。

 其次，我们可以从一节课中所推导的四组诱导公式，要求学生通过观察分析，能概括出其统一的规律。

（引导）——“=”左右两边函数的名称有什么联系？函数值前面的 号的放置有什么规律？从而`得出“函数名不变，符号看象限”的规律。

这个课例，不仅使学生掌握运用单位圆推导诱导公式这种数形结合研究数学的思想方法，更重要的是学到了研究问题的方法。

 2、让学生看到老师的思维轨迹——点到直线距离公式的推导。

求点 到直线 的距离 是解析几何中一个十分重要的公式。若作 ，则

. ( )

当然，我们可以利用两直线方程求出 的坐标，然后由两点间距离公式求 。课本中说：“这个方法虽然思路自然，但是运算很繁。”故介绍另一种解法（遇到困难，及时改变方法，不失为一种好策略）。

但我在教学中，抓住这一矛盾的分析与解决，暴露教师的思维，让学生看到科学思想方法的威力，对学生进行具体的科学方法论的教育。

首先，如果能从全局、整体上来看问题，就可以发现求 并不是问题的关键，关键是要求出 （正是这两种不同的出发点，引来了计算的繁与简）。

不妨先设 ，则有

根据上述的求解目标，化为

再根据上式的结构特点（比例关系），令 代入上式，求出 ，代入公式（ ）有

不难验证，当 时这个公式也成立。

这样处理，反而比书中介绍的方法简便多了。归根到底，就是因为上述解法能洞察问题的全局，从整体出发，分析清楚主要矛盾，抓住了问题的关键，从而选准了突破口。所以，上述解法体现了整体思维的运用，鲜明的目标意识与“设而不求”的解析几何的重要解题技巧。

本例主要通过展示教材与老师的不同思维，从而达到指导学生看书，指导学生学习的目的。这种把自己“摆进去”的教学方法，，收到了较好的效果。同学们说：“听你的课，我们并不感到你在讲授知识，而是在同我们谈学习体会，介绍学习方法。”

3、让学生看到学习群体的思维转变——等差数列性质的教学.

如前所述,数学教学中,存在着数学家(或教材)、教师、学生这三种思维活动。但当前的教学，其信息的传播大多局限于教材与学生，教师与学生这两种模式。而对学生与学生之间的互动与影响重视不够，这是教学中对学生主体地位发挥不够。其实，学生群体的最大特点是互补性。学生在相互研讨、探究、补充交流、评价完善的环境中获取到许多书本中没有的知识，从中学习到别的同学的学习方法与思维方法。

在等差数列性质的教学中，我在介绍了用倒项相加法求等差数列前n项和 的公式后，就提出如下问题让学生研讨：通过上述求和公式的推导，你们能发现等差数列有什么性质？

学生A：等差数列 前n项中，与两端“等距离”的两项和都相等。即若

学生B：只要

学生C：上述结论可推广到两边皆为 项的情况，即若

    老师：两边个数不相等时，结论对吗？（学生经研究认为不对）。

老师：上述结论的逆命题成立吗？（学生中一部分认为成立，一部分认为不一定）。

学生D：以两项为例，  

若  

故当 ；而当 时，就不一定成立。

老师（简单小结）：通过研讨，我们不断把结论加以深入和一般化，这也是我们学习数学的一种重要方法。说明看书学习不能光知道结论，还要掌握某些重要公式定理的推导过程；更要善于观察思考，不断提出问题、深化问题，这样就能从中获得许多书中没有的知识。

老师：还有其他发现吗？

学生E：由

即等差数列中，连续 项的算术平均数等于首末两项的算术平均数。

老师：这位同学的想法很好。可启发我们，若从 出发考虑，就有 落在函数 的图像上。当 时，它是过原点的抛物线，由此可用来解决 ？时， 的最（或最小）的问题。

整节课，师生之间、学生之间的思维活动都得到充分交流，相互启发、相互补充、相互评价，使人体会到一个问题的探究是怎样逐步深入地进行的。

表面看来十分简单的例题，运用科学方法论的原理组织教学，就能引出十分丰富的内容，大大提高了学生分析、解决问题的能力。对于一些概念、习题，若能仔细推敲，深入钻研，把潜藏的基本思路、基本规律发掘出来，把教材的思维过程、教师的思维过程、学生的思维过程展示出来，就能从题海中跳出来，提高学生的数学思维素质。

从上面的课例中可以看出，运用科学方法论来指导数学教学，达到培养学生的数学思维的预定目标，使学生学会学习，学会思考，学会创造。