新课程背景下提高学生数学思维能力的几点做法

长汀一中  袁马福

高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。在新课程背景下，如何提高学生的思维能力，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养呢？下面谈谈笔者在新课程教学实践中的几点粗浅做法。

一、新课程背景下，注重变换问题的角度，培养学生思维的广阔性，是提高学生数学思维能力的有效做法善于沟通事物与事物之间的纵横联系和演变能力，叫做思维的广阔性。在新课程背景下要注重变换问题的角度，敏锐捕捉事物的联系，由此及彼、由表及里地揭示问题的内在联系，培养学生思维的广阔性，这是提高学生思维能力的有效途径。

例如：求函数f(x)=sinx+cosx的值域及最大值、最小值。这是简单的三角函数式变形的基础题，若能敏锐地捕捉此问题的内在联系，变换问题的角度，引出一些问题：

①把f(x)换成a，将问题变为：当a取何值时，方程sinx+cosx=a有解？有唯一解？无解？

②注意到sin²x+cos²x=1将问题变为：a为何值时，方程组

有解？唯一解？无解？

③注意到x²+y²=1是圆的方程，问题可以换一种角度提出：a为何值时，直线x+y=a与圆x²+y²=1相交？相切？相离？

④可以从集合角度考虑：a为何值时，集合 有2个元素？只有一个元素？是空集？

⑤限定y≥0，由x²+y²=1可知y= =1问题又可转化为：a为何值时，方程x+ =1有解或者求函数f(x)=x+ 的值域。

在新课程背景下，对同一个问题变更不同的角度，经过不同变换提出，对扩大学生的视野，这对培养学生对问题从不同角度分析，寻求各种解决方法的能力，极为有利。培养学生思维的广阔性，是提高学生思维能力的有效做法。

二、新课程背景下，注重对解题过程的逆向思考，培养学生数学思维的深刻性，是提高学生的数学思维能力的有效做法

思维的深刻性是指对事物本质的认识能力。在新课程背景下，注重深刻理解数学知识的形成过程，注重对事物特征的洞察、区别以及对问题的逆向思索，培养学生数学思维的深刻性，是提高学生数学思维能力的有效做法。

例如：求不等式x²-2x-3＞0解集。解决这道题是容易的，只要对此不等式求解，用集合表示为 就可以了。如果把问题逆向提出：已知不等式x²+ax+b>0的解集为 ，求实数a,b值。要解决这问题就不是那么容易了。前者是正向思维，后者是逆向思维。这样的例子是可以举出很多。例如：已知函数f(x)= 的值域为[1,+∞]求其定义域；已知函数y= 的值域为[-1，4]，求实数a,b的值；已

知函数y=( )^x+1的反函数为y=g(x)，求g(10)的值。在新课程背景下，充分挖掘有利于培养学生思维深刻性的例题，这对提高学生的数学品质极大帮助。

又如求证不等式

C_n¹+C_n²+……C_nⁿ＞n· ，由于C_n¹+C_n²+……+C_nⁿ=2ⁿ-1 此不等式可以逆向思考，只要证2ⁿ-1＞n· 而2ⁿ-1可以逆向思考为等比数列 的前n项和即2ⁿ-1=1+2+2²+……+2^n-1此项只要证1+2+2²+……+2^n-1＞n· 利用重要不等式a₁+a₂+……+a_n＞ (a_i>0, a_i≠ a_i)不难得出结论。在新课程背景下，注重对解题过程的逆向思索，培养学生思维的深刻性，是提高学生思维能力的有效途径。

三、新课程背景下，注重归纳推广，培养学生思维的独创性，是提高学生数学思维能力的有效做法。

思维的独创性是指打破常规解决问题的一种创造能力。在新课程背景下，数学对创新人格的培养功能主要依赖于数学的人文价值。数学不仅是培养思维的最好材料，也是培养创新人格的最好材料。

例如：平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，求证：AT=RT=TC（人教A版必修4，P122例2）。解决此问题若用平面几何知识不是很容易的。我们可以用坐标法来解决，先建立平面直角坐标系，设点的坐标，求出直线BE、BF与直线AC的交点R、T坐标。但此法计算量大。独创地运用平面向量的方法问题来解决，给人以耳目一新的感慨。又如关于sinx的方程sin²x-（a²+2a）sinx+a³+a²=0有实数解，求a的范围。注意到|sinx|≤1，令u=sinx，问题即为：u²-(a²+2a)u+a³+a²=0在[-1，1]有实数解，求a的范围。问题较复杂。打破常规的想法：由原方程有实数解可得出sinx=a或sinx=a²+a，原方程有实数根相当于sinx=a或sinx= a²+a至少有一个成立，即|a|≤1或|a²+a|≤1，可得出结论。

又如求（1-nx）[1-(n-1)x] ……（1-2x）(1-x)(1+x)(1+2x) ……[1+(n-1)x](1+nx)展开式中含x²的系数。这个问题若直接求解困难重重，不好运用已知知识进行解决。求异创新地推广：当n=1时，（1-x）（1+x）=1-x²，x²的系数为-1，当n=2时，

(1-                                                    2x)(1-x)(1+x)(1+2x)=(1-x²)(1-4x²)=1-(1+4)x²+4x⁴.x²系数为

-（1+4），当n=3时,（1-3x）（1-2x）(1-x)(1+x)(1+2x)(1+3x)

=(1-5x²+4x⁴)(1-9x²),可得x²的系数为-（1+4+9），由此可以得出，已知展开式中x²的系数为-（1²+2²+3²+……+n²）=-  这一结论还可用数学归纳法加以证明。

在新课程背景下，善于发现问题，找出疑问，在条件变化的情况下，寻求新的解法，甚至能提出某种设想，求异创新，注重独创，培养学生打破常规的思维独创性，是提高学生数学思维能力的有效做法。

四、新课程背景下，注重直觉猜想和错误体验，培养学生思维的思辨性，是提高学生数学思维能力的有效做法。

思维的思辨性是指对错误的领悟及修正能力。在新课程背景下，注重直觉猜想和错误体验，并对错误能及时修正领悟，对提高学生的思维能力极大帮助。

例如在学习完cos（α+β）的公式后，推导公式sin（α+β）时，有一个学生回答sin（α+β）=sinα+sinβ。对此我说：“很好，这个同学给出的结果让人感觉很过瘾，运算简单，大家其实很愿发言就是这样对不对？”，学生们脸上的表情是兴奋的，但很快困惑的神情也开始出现。比如α=β= 时就不成立，我并不追问为什么，而是让学生思考、猜想、论证sin（α+β）的结果。学生的猜想和错误，如果运用得当，那么它就不仅不会成为学生学习的障碍，反而能够帮助学生更好地理解数学知识，激发学生更强的求知欲望。如果学生的错误不能充分地暴露，那么学生的主动探索和尝试的冲动就会大大降低，消去这种误解的机会也就会大大减少，而且仅仅从正面去理解，学生的体会与印象并不会十分深刻。

在新课程背景下，学生学习数学时，常常抱有各种不同的态度，会有各种各样的复杂的内心体验。注重直觉猜想和错误体验的恰当运用，这对培养学生思维的思辨性很有好处。

培养学生思维的广阔性、深刻性、独创性及思辨性，是提高学生数学思维能力的有效做法。在新课程背景下，要善于引导学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，激发学生对数学创新原动力的认识，领会数学的美学价值。在知识与信息占主导地位的当今时代，数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。因而培养和提高学生的数学思维能力至关重要。