高考概率试题分析与复习备考
长汀一中 范敦飞
概率统计是中学数学新大纲新增的教学内容，在新课程中分为必修和选修两部分。其中必修包括随机事件的概率，等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件的概率，独立重复事件的概率等；在选修部分分为文科、理科两种要求：文科只含统计内容（抽样方法，总体分布，总体期望与方差的估计等），理科还包含了离散随机变量的分布列、期望与方差、正态分布和线形回归等。这都是这一学科最基本的知识和方法，有较强的实用性。为了在教学中准确地把握教材，有必要对近几年高考新课程卷概率试题分析研究，从而体会新课程对这部分内容的要求。
1 从新课程卷中概率试题和考纲要求来看高考概率命题特点
1．1 试题分布
从新课程高考试卷来看，有关概率与统计部分的试题分布如下：
年份题号 总分 概率统计分数 难度 占总分% 类别 考查知识 教材章节分布
2000 13 150 4 0.75 9.3% 填空题 概率分布 概率与统计
17 10 文（0.54）理（0.65） 解答题 随机事件概率 概率
2001 14 150 4 0.794 10.6% 填空题 数学期望 概率与统计
18 12 文（0.437）理（0.346） 解答题 独立事件概率 概率
2002 19 150 12 文（0.17）理（0.43） 8% 解答题 独立重复事件概率 概率
2003 14 150 4 文（0.85）理（0.93） 10.6% 填空题 分层抽样 概率与统计
20 12 文（0.65）理（0.65） 解答题 相互独立事件的概率（文），离散型随机变量的分布列、数学期望 概率（文）概率与统计（理）
1.2考试要求：
（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；
（2）了解等可能性事件概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；
（3）了解互斥事件，相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率的乘法公式计算一些事件的概率．
（4）会计算事件在ｎ次独立重复试验中恰好发生ｋ次的概率。
（5）了解离散型随机变量的意义、离散型随机变量的分布列、期望值、方差的意义，会求出某些简单离散型随机变量的分布列、期望值、方差。
（6）会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用抽样方法从总体中抽取个体，会用样本频率分布估计总体。
（7）了解正态分布的意义及主要性质，了解线形回归的方法和简单应用。
1.3从四年新课程卷可以看出试题有以下特点：
（1）密切联系教材，试题通常是通过对课本中原题的改编，通过对基础知识的重新组合、拓广，从而成为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题．例如2000年新课程卷的第17题：以普法知识竞赛为情境，贴近学生实际；2001年新课程卷的第18题：以元件连接为背景，将基础知识进行了重组，并让学生横向联系，与物理知识的串、并联相结合；2002年新课程卷的第19题：以互联网上网的概率为问题情境，设问巧，且赋予时代气息．2003年新课程卷的第20题文、理科分别以产品合格率检验、乒乓球对抗赛所得总分为背景贴近学生实际联系课本，为学生熟知。
（2）概率试题与其它数学试题有着明显的区别，它具较强的应用性.近三年来出现过四种类型：一是课本中出现的，从实际生活中概括出来的问题（2000年新课程卷第17题，2003年新课程卷文科第20题）；二是与横向学科有联系的问题（2001年新课程卷第18题）；三是赋予时代气息的数学问题（2002年新课程卷第19题）．四是在学生熟知的有生活经验的问题（ 2003年新课程卷理科第20题）。
（3） 概率试题中注重了概率统计的基本思想、基本方法和基本应用的考查，即对等可能性事件的概率；互斥事件的概率加法公式；独立事件的概率乘法公式；事件在次独立重复试验中恰发生 次的概率，统计方法、随机变量的分布列以及期望的考查．
1. 4从四年新课程卷可以看出概率命题有以下趋势：
（1）在四年新课程考卷中，概率每年一道大题，并且三年的发展趋势（是从10分提高到12分，题目的位置，以理科为例，2000年第17题，2001年第18题，2002年第19题，2003年文科第20题，即题目的位置后移，同时，概率在试卷中的分数比是概率在教学中的课时比的2.4倍，即分数比是12:150=1:12.5，而课时比是11:330=1:30，由于概率的内容应用价值很大，题目的难度虽然不大，但有一定灵活性，所以在考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导下，提高了分值，提高了难度，并设置了灵活的题目情境：普法考试，串并联电路，计算机上网，产品合格率等。
（2）从考试内容上看考试要求中，“会”字的要求这四年都考到了，2000年普法知识的题目，实际上是考查等可能事件的概率，2001年串并联电路的题目实际上是考查了相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率，2002年上网的题目在考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的同时，还考查了ｎ次独立重复试验中恰好发生ｋ次的概率．2003年14题考查了会用常用抽样方法从总体中抽取个体的分层抽样方法，20题文科考查的还是相互独立事件同时发生和互斥事件有一个发生的概率。理科考查了求出某些简单简单离散型随机变量的分布列、期望值。
总之，在高考中主要考查概率与统计的基本思想、基本方法和基本运用，高考命题紧扣考纲，随着新教材使用范围的扩大，考试内容逐年向后推进，考查力度逐步加大。
2 课程卷中概率试题解析
2.1 通过对事件的理解与把握来解决问题
例1 （2000年第17题）甲乙两人参加普法知识竞赛，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题．（Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
分析 本题是一个等可能性事件的概率问题.（1）关键求出基本事件总数和事件A包含的基本事件数，同时注意到“甲、乙二人依次各抽一题”在解题中的作用，于是可利用排列知识及等可能事件的概率公式加以求解．（2）可用分类法或用间接法，先求对立事件的概率。甲、乙二人中至少有一人抽到选择题包含：甲抽到而乙抽不到选择题、乙抽到而甲抽不到选择题、甲乙都抽到选择题；其对立事件是甲乙都抽不到选择题。
2.2 通过应用分类讨论的思想来解决问题
例2 （2002年第19题）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）．（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？
分析 本题主要考查随机事件的概率的计算及其在实际问题中的应用，侧重考察逻辑思维能力。“至少3人同时上网的概率”“至少几人同时上网的概率小于0.3”是“在6次独立重复事件中上网发生K次的概率” 的发展，可应用分类讨论的思想将问题（Ⅰ）“至少3人同时上网的概率”转化为恰有3人同时上网，恰有4人同时上网，恰有5人同时上网，恰有6人同时上网的四种类型，再结合相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法加以求解或者将；也可将问题（Ⅰ）转化为1减去至多2人同时上网的概率。同时问题（Ⅰ）的解决为问题（Ⅱ）的求解做好了铺垫.我们把r人同时上网的事件记为Ar,则 .至少3人同时上网的概率 。我们把至少r人同时上网的事件记为Br,则 ，……,依次计算后判断即可。
例3（2003年文科20题）在三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率； （Ⅱ）求至少有两件不合格的概率. （精确到0.001）
分析：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力。注意体会“至少” “恰有”一类词语的含义，问题不难解决。（Ⅰ）事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为 P（A·B· ）+P（A· ·C）+P（ ·B·C）
=P（A）·P（B）·P（）+P（A）·P（ ）·P（C）+P（ ）·P（B）·P（C）
（Ⅱ）至少有两件不合格的概率为
P（A· · ）+P（ ·B· ）+P（ · ·C）+ P（ · · ）
或者1－P（A·B·C）。
2.3 通过合理运用公式 来解决问题
例4（2001年新课程卷第18题）用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90,分别求系统N1、N2正常工作的概率．
分析 系统N1正常工作的概率由物理串联知识结合独立事件的乘法公式即可求得；而系统N2正常工作的概率由“当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作”可知，必须分成三类：一元件A、B正常工作，元件C不正常工作；二元件A、C正常工作，元件B不正常工作；三元件A、B、C都正常工作．在解题时容易遗漏第三种情况，且忘记不正常工作的元件，导致解题错误．但若我们合理使用公式，则系统N2正常工作的概率可以看成元件A正常工作，元件B、C都不正常工作的对立事件的概率，从而可以简化计算过程．
2.4运用离散型随机变量和期望的概念解题
例5（2003年理科20题）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η （1）求ξ、η的概率分布； （2）求Eξ，Eη.
分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决问题的能力。关键分析出随机变量ξ、η的可能取值分别为3、2、1、0.以及每个取值所包含的基本事件，运用概念解题。
解：（1）ξ、η的可能取值分别为3、2、1、0.
根据题意ξ+η=3，所以 。
（2）因为ξ+η=3 所以 。
3 新课程卷中概率试题对高考复习的启示
3．1 在复习中，不能因为概率这部分是新增加的内容而加以忽视，也不能因为概率与排列、组合同在一个章节，认为只可能出现填空、选择题的类别.因为从近4年的试卷看到，几乎每年均有一个概率解答题和一个小题，高考突出了对新增加的内容的考查，分值在10%左右，考查力度逐步增加和范围逐步扩大，预计04年高考仍将在概率与统计的基本思想、基本方法和基本运用处命题，考点有可能理科向离散型随机变量的期望与方差以及用正态曲线的性质解决简单实际问题推进，所以在复习中应引起足够的重视．
3．2 在复习中，应充分研究大纲、考试说明，使学生备考做到：（1）7个了解，即了解随机事件的统计规律性；抽样方法和样本平均值、方差的意义；随机事件的概率；等可能事件的概率；互斥事件；相互独立事件；了解离散型随机变量分布列及其期望与方差的意义.（2）7个会，即会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率；会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率；会计算事件在次独立重复试验中恰发生 次的概率；会用概率知识求离散型随机变量的分布列；会根据分布列求离散型随机变量的期望与方差；会用正态分布规律和性质解决一些简单问题．
3．3 在复习中，应注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，如由“至少”“恰有”“至多”一类词语的含义找出事件A包含的基本事件数，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流.。
3．4 在复习中，应要求学生平时多关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，并加强对学生进行偶然性与必然性的对立统一观点的教育．
总之，新高考卷突出了对新增加的内容的考查，常常从能力立意，突出对考生基本素质和理性思维的检测，对中学教学和新课程改革有积极的指导意义。
